¿Qué hacía realmente el programa de Ada Lovelace?

Una piedra triangular seguida por una fila de 2 piedras, hacían un triángulo compuesto por 3 triángulos. Al sumar otra fila de 3 triángulos, se obtiene un triángulo hecho de 6 triángulos. Un triángulo de 6 filas, contenía 21 triángulos (recordemos que son piedras). Pero, cuántas piedras contiene un triángulo de 423 filas?

Lo que los Pitagoreanos buscaban era una nueva forma de calcular sin realizar la suma completa:

Ellos eventualmente notaron que si pones 2 triángulos del mismo tamaño de forma opuesta, se forma un rectángulo, y que se puede obtener el área del rectángulo dividiendo por 2 el número de piedras en cada triángulo.

Arquímedes posteriormente exploró un problema similar. Él estaba interesado en la siguiente serie:

Puedes visualizar esta serie imaginando una pila de cuadrados grandes (hechos de pequeños cubos), uno arriba del otro, formando una pirámide. Arquímedes quería saber si había una forma fácil de saber cuántos cubos podrían necesitarse para construir una pirámide de, por ejemplo, 423 niveles. Él creó una solución que también permitía interpretación geométrica.

Tres pirámides pueden calzar juntas para crear un prisma rectangular con una pequeña extensión de un cubo al final. Esa pequeña extrusión sucede por un triángulo que obedece a las mismas reglas que los Pitagoereanos usaron para hacer sus triángulos de piedras. Así que el volumen de toda la figura, sería dada por la siguiente ecuación:

Al sustituir la ecuación de Pitágoras de la suma de los primeros n enteros y aplicar algo de álgebra.

Hasta ahora podrías preguntarte si hay un método general para encontrar la suma de los primeros n enteros elevados a k, que es lo que los matemáticos en algún momento también se preguntaron. Johann Faulhaber, matemático alemán y más o menos «numerólogo», podría calcular sumas de enteros elevados a 17, y lo publicó en 1931. Pero eso le tomó muchos años y no llegó a una solución general. Blaise Pascal finalmente obtuvo en 1665 un método general, el que requería saber primero cómo calcular la suma de enteros elevados a potencias menores, es decir, para calcular la suma de los primeros n positivos enteros elevados a 6, primero debías saber cómo calcular la suma de esos mismos n enteros elevados a 5.

Una forma más práctica y general de la solución fue publicada luego de la muerte del matemático suizo Jakob Bernoulli, quien murió en 1705. Bernoulli comenzó a dividir fórmulas calculando la suma de los primeros n positivos elevados a 1, 2 y 3. Esto tenía forma de polinomio.

Usando el Triángulo de Pascal, Bernoulli se dio cuenta que los polinomios siguen un patrón predecible. Esencialmente, Bernoulli descompuso los coeficientes de cada término en dos factores: uno que podía determinar usando el Triángulo de Pascal, y el otro que podía derivar de la interesante propiedad de que todos los coeficientes en un polinomio parecían siempre aumentar en 1. Obtener el exponente al que elevar cada término era sencillo, porque también tenían un patrón. Y el factor al que cada coeficiente debía ser calculado utilizando la regla de «aumentar en 1», formaban una secuencia conocida como los números de Bernoulli.

Su descubrimiento no significó que calcular la suma de los primeros enteros positivos elevados a un número k fuera trivial, porque para calcular la suma de los primeros enteros elevados a k, se debe conocer cada número de Bernoulli, que sólo puede ser obtenido calculando el número de Bernoulli previo, sin embargo, calcular una serie larga de sus números era más sencillo que derivar la suma de cadas potencia, por lo que su descubrimiento fue un avance para las matemáticas.

Lovelace, conocida como Ada Byron, conoció a Babbage en una fiesta en 1833, cuando ella tenía 17 y él 41. Ella estaba fascinada con la primera máquina, porque comprendía como funcionaba, ya que fue educada exclusivamente en matemáticas durante su niñez. Su madre Annabella Milbanke, había decidido que conocimientos sólidos de matemáticas podrían mantenerla alejada de la sensibilidad romántica que poseía el padre de Ada, Lord Byron, poeta famoso. Luego de conocerse, Lovelace y Babbage formaron parte del mismo círculo social, y se escribían cartas seguido.

El paper de Manabrea explicaba a rasgos generales cómo funcionaba el Difference Engine, y posteriormente mostraba la superioridad del Analytical Engine. Sería tan poderoso, «que podría calcular el producto de dos números, siendo cada uno de 20 cifras, en sólo 3 minutos». Menabrea dio ejemplos de las capacidades de la máquina, demostrando cómo podía resolver problemas simples de ecuaciones lineales, y expandir el producto de 2 expresiones binomiales. En ambos casos, Menabrea indicó lo que Lovelace llamaría «diagramas de desarrollo», los que secuenciaban la lista de operaciones que se necesitarían para calcular la respuesta correcta. Estos eran programas en el mismo sentido que el programa de Ada Lovelace eran un programa, y fueron publicados el año anterior. Pero los programas de Menabrea eran simplemente ejemplos de lo que sería posible, todos ellos triviales, en el sentido de que no requerían decisiones algorítmicas ni bucles.

Lovelace sumó una serie de notas a su traducción del paper, que en conjunto, superaban la extensión del contenido del paper en sí. Aquí fue donde ella realizó sus mayores contribuciones a la computación. En la Nota A, que sumó a la definición de Menabrea del Analytical Engine, ella explicó extensamente y de forma lírica las promesas de la máquina. Ella pudo prever que una máquina como la suya, no sólo estaba limitada a números, sino que podía actuar sobre otros objetos «los que sus relaciones mutuas y fundamentales pudieran ser expresadas por la ciencia abstracta de las operaciones, y que fueran susceptibles a las adaptaciones de la acción de la notación de operaciones y mecanismos de la máquina». Ella añadió que la máquina podría, algún día, componer música. Su visión era mucho más remarcable que la de Menabrea, que sólo veía la máquina como una herramienta para automatizar cómputos extensos, que podrían liberar un poco del trabajo de los científicos para dedicarse a cosas más complejas. La milagrosa visión de Lovelace demostrada en la Notas A, es la mayor razón por la que ella es celebrada hoy.

Otra nota famosa es la G. Lovelace comienza indicando que la máquina, a pesar de su potencial, no podía «pensar. A esta nota posteriormente Alan Touring se referiría como «La objeción de Ada Lovelace». Luego Lovelace continua la nota indicando que la máquina puede hacer cosas extraordinarias, y para ilustrarlo, ella propone su programa para calcular los números de Bernoulli.

El programa es esencialmente una lista de operaciones especificadas usando símbolos matemáticos. No parece que Babbage o Lovelace hayan desarrollado más allá que un set de códigos y operaciones para el Analytical Engine.

Con Lovelace se describió el método para computar la secuencia completa de los números de Bernoulli hasta cierto límite, y el programa que ella entregó sólo ilustraba uno de los pasos del procesos. Su programa calculaba un número que ella llamaba B7, lo que en matemática moderna es conocida como el octavo número de Bernoulli. Su programa resolvía la siguiente ecuación:

En lo anterior, cada término representa el coeficiente de una fórmula de polinomio para la suma de enteros elevadas a cierta potencia. Aquí la potencia es 8, ya que 8 es el primer número de Bernoulli que aparece en la fórmula para la suma de enteros positivos elevados a 8. La B y la A representan dos tipos de factores que Bernoulli descubrió. B1 a B7 son los otros números de Bernoulli, indexados según Ada Lovelace propuso. A0 a A5 representan los factores de los coeficientes que Bernoulli podía calcular usando el Triángulo de Pascal. Los valores de A0, A1, A3 y A5 aparecen abajo. Aquí «n» representa el primer número de Bernoulli en la secuencia de impares. El programa de Ada utilizaba n=4.

Crearon la traducción del programa de Ada en C, lo que es más fácil de seguir. Su primer programa calculaba A0 y el producto B1A1. Luego entraba en un loop que se repetía 2 veces para calcular B3A3 y B5A5, ya que ambos se formaban mediante un patrón idéntico. Luego de que cada producto era calculado, se sumaba a los productos previos, por lo que al final del programa la suma completa era obtenida.

Claramente la interpretación en C no recrea exactamente su programa, porque declara variables en una pila, cuando las variables de Lovelace son como registros. Pero demuestra las partes del programa de Lovelace que son tan presentes. El programa en C contiene 2 loop «while», uno anidado en el otro. El programa de Lovelace no tenía loops exactamente, pero hacía grupos de operaciones, y en su nota explicaba cuándo se debían repetir. La variable x10 en el programa original y en la traducción a C, funciona como un contador que disminuye por cada loop, algo con lo que cualquier programador es familiar. De hecho, independiente de los nombres confusos de las variables que Ada determinó, su programa no parece algo ajeno.

Otra cosa que vale la pena mencionar es que traducir su programa a C no fue difícil, ya que su nivel de detalle fue muy alto. A diferencia de las tablas de Menabrea, su tabla incluye una columna llamada «indicación de cambios en el valor de la variable», lo que simplifica seguir la mutación del estado a lo largo del programa. Ella escribe un índice sobre cada variable (un número pequeño encima) para indicar el valor sucesivo que han ido guardando, entonces si un número tiene 2 índices, significa que el valor que se está usando, es el segundo.